Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit werden ein- und zweikomponentige ultrakalte bosonische Gase in einem hexagonalen optischen Gitter untersucht. Das Hubbard Modell wurde verwendet, um Korrelationen, Wellenfunktionen und Energien im diskreten System mit exakten Methoden zu berechnen. Wird das System mit Bosonen unterschiedlicher Hyperfeinzustände geladen, treten kurzreichweitige Korrelationen im Mottisolatorzustand auf. Diese lassen sich interpretieren als Korrelationen der z-Komponenten des Isospins der unterschiedlichen Teilchensorten. Es zeigt sich ein vielfältiges Phasendiagramm mit anti-ferromagnetischen oder ferromagnetischen
z-Korrelationen. Der Grundzustand im anti-ferromagnetischen Mott-Isolator-Regime nimmt, in Übereinstimmung mit der Theorie, für keine Systemgröße den Néelzustand ein. Im ferromagnetischen Mott-Isolatorzustand ist zu größeren Zellen hin eine klare Domänenstruktur erkennbar, die in zunehmenden Maße ferromagnetische
Korrelationen liefert. Im superfluiden Zustand bilden sich in Abhängigkeit der Wechselwirkungsparametern zwischen gleichen und unterschiedlichen Bosonen zwei besondere Phasen aus.
Im anti-ferromagnetischen superfluiden Regime liegt im Grenzfall verschwindend kleiner Wechselwirkung zwischen verschiedenen Teilchen eine Überlagerung der Isospins an einem Gitterplatz vor. In dieser Phase ist das Quadrat der planaren Am-Platz-Komponente des Isospins maximal, diese Überlagerung geht für wachsende
Wechselwirkung in einen superfluid counter flow (SCF-Phase) über. Im anderen Grenzfall können wir ein Supersolid identi zieren. In dieser Phase kann das System durch eine nichttriviale Dichtemodulation beschrieben werden. Diese Art von Übergitter hat eine vierfach größere Einheitszelle als das urspüungliche Gitter und vereint somit superfluide sowie feste Eigenschaften zugleich, ein Supersolid.
Ein spezielles spinabhängiges optisches Gitter bricht die Symmetrie für eine Teilchensorte.
Dies hat im Falle des supersoliden Zustandes für beide Teilchensorten
ein Besetzungsungleichgewicht benachbarter Gitterplätze zur Folge. Experimentell lässt sich dies als Supersolid-Signal verwenden. Die Korrelationen bestätigen sich für zunehmende Systemgrößen, dies ist ein deutliches Anzeichen dafür, dass unsere Ergebnisse ebenso für makroskopische Systeme qualitativ gültig sind.
In this thesis, one- and two-component ultracold bosonic quantum gases in honeycomb optical lattices are examined. For simulations, the Bose-Hubbard model is used in concert with an exact diagonalization method, to get access to correlations,wavefunctions and energies of the discrete system. Ultracold Bosons in two di fferent hyperfi ne states, generated in an optical lattice open the possibility to investigate short ranged two-particle correlations in the Mott insulator phase. These correlations can be interpreted as next neighbor zcorrelations of iso-spins, associated with the diff erent particle sorts. A manifold phase diagram is analyzed, which shows both anti-ferromagnetic and ferromagnetic correlations. In the anti-ferromagnetic regime the groundstate of the system never assumes a Néel state, which is in agreement with theoretical predictions. In the ferromagnetic Mott insulator regime, for increasing cell sizes, increasing domains can be identi fied, which allows for increasing ferromagnetic correlations. In the superfluid regime we can investigate two special phases, depending on the ratio of interaction between same and diff erent kind of atoms. In the limit of small interactions between diff erent kind of particles the iso spins build up superpositions on one lattice site to fi nd a state where the on-site square of the in-plane (xy) component reaches maximum. For increasing interactions this superposition is transferred to a super-counter-fluid (SCF) phase. In the opposite limit of small interactions between the same kind of particles, I identify a supersolid order. In this phase, the system can be described by a nontrivial density-modulation. The corresponding superlattice is four times bigger than the primary unit cell and includes simultaneous solid and superfluid qualities, i.e. it is a supersolid. To suggest an experimental method to detect the supersolid phase, the lattice symmetry is broken by a spin-dependent lattice. This way a supersolid signal in the population imbalance from site to site is identi fied. The important features of the phase diagram are reproduced also for increasing cell sizes. This confi rms that our small size systems develop strong fingerprints of the physics emerging in macroscopic systems.